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I Pitagorici

Introduzione

Perché Pitagora è così importante?


La filosofia dei «cosiddetti pitagorici», come li chiama Aristotele nel libro Alfa della Metafisica, riconoscendo così che già nel IV secolo a.C. le conoscenze su questa scuola erano incerte, rappresenta comunque un enorme balzo in avanti della riflessione occidentale sul senso della totalità.
Questi pensatori infatti avanzano una serie di ardite teorie, la cui influenza arriva fino a noi, sia pure attraverso una lunga serie di trasformazioni e di metamorfosi.
L'idea chiave è che il mondo è una totalità ordinata (sono loro a usare per primi, probabilmente, la parola «cosmo», che in greco significa proprio totalità dotata di ordine), la cui struttura profonda non è conoscibile da tutti ma può essere espressa attraverso i numeri.
Come vedremo subito i numeri di cui parlano i pitagorici non sono ancora proprio i numeri che conosciamo e usiamo oggi, ma si tratta senza dubbio di un enorme passo verso un pensiero più astratto e quindi più capace di universalizzazioni.
Se si pensa che la scienza moderna alla sua nascita nel XVII secolo si richiamava ancora, in qualche modo, a questa intuizione pitagorica si potrà comprendere quanto essa sia stata importante.
Ma non c'è solo questo. Per i pitagorici i numeri sono legati in un modo misterioso all'esperienza della bellezza: tra alcuni numeri infatti si stabiliscono dei rapporti che alla nostra coscienza risultano dotati di una particolare qualità, di una armonia che manca invece quando si cerca di mettere in relazione dei numeri presi a caso. Questa esperienza del bello come armonia descrivibile attraverso i numeri è particolarmente evidente nel caso della musica, ma diverrà un carattere essenziale di tutta la esperienza estetica greca classica.
Infine, il terzo elemento per il quali i pitagorici rappresentano un passaggio importante nella storia della filosofia è il fatto che recuperano dall'esperienza religiosa dell'orfismo la nozione di «anima» intesa come entità immateriale e immortale staccata o comunque diversa dal corpo, una nozione destinata anch'essa a giocare un ruolo di enorme importanza nella storia della filosofia occidentale.


Sapere cosa ha detto Pitagora è difficile

Il pensiero di Pitagora è incerto per diversi motivi: esistono infatti moltissime biografie di Pitagora ma sono tutte molto tarde e ricche di improbabili aneddoti. Per questo già lo stesso Aristotele, come sempre una delle nostre fonti più importanti, parla solo dei «cosiddetti pitagorici». Di fatto si ebbe un vero e proprio processo di divinizzazione sulla figura di Pitagora, reso un Dio dai suoi discepoli anche prima della morte. Possiamo quindi analizzare le dottrine dei pitagorici nel loro complesso ma ci è praticamente impossibile distinguere quelle che erano autenticamente di Pitagora da quelle dei suoi seguaci: l'elaborazione della dottrina inoltre era comunitaria. Questo significa che il lavoro di ricerca era svolto in comunità e da persone che sceglievano di rimanere anonime per poter attribuire ogni opera a Pitagora. Inoltre la dottrina era segreta ed era vietato svelarne il contenuto. Solo nel IV secolo il pitagorico Filolao per motivi economici scrisse un libro sulla dottrina di Pitagora.

I numeri come arché

L'arché sono i numeri
Il riferimento che le fonti danno a un periodo iniziale in cui Pitagora sarebbe stato seguace di Anassimandro ci fornisce una importante indicazione sulla genesi del pensiero pitagorico.
Anassimandro infatti parlava di un mondo fatto di contrari in lotta tra loro e li faceva forse nascere dai due contrari più importanti, il caldo e il freddo.
Pitagora parte dalla stessa osservazione (il mondo è composto di contrari) ma ne ricava una conclusione molto più astratta: la coppia di contrari supremi è quella composta dal pari e dal dispari, che sono la caratteristica essenziale dei numeri. Questi, e non altro, sono l'archè della physis.

Come arrivarono a questa idea? La risposta va ricercata nella musica.
Nonostante siano stati spesso avanzati dubbi legati alla effettiva realizzabilità delle esperienze musicali che la tradizione pitagorica racconta, è più che verosimile che Pitagora, utilizzando l'arpicordo (uno strumento musicale molto semplice dotato di una sola corda). si sia accorto della proprietà fondamentale di questi strumenti: inserendo sotto la corda dei ponticelli, cioè dei sostegni, in posizioni particolari (1/2, 1/3, 3/4 della lunghezza totale) la nota emessa cambia di altezza e si accorda in modo armonico, cioè bello, con le note emesse dalla corda quando il ponticello è sistemato nelle altre posizioni particolari: esiste in altre parole un rapporto numerico preciso tra la lunghezza della corda e il suono. Ciò viene sancito dal fatto che solo quando le lunghezze delle corde che vibrano stanno tra loro in particolari relazioni numeriche i suoni emessi «stanno bene insieme», cioè danno vita a un accordo piacevole da sentire.

Questa scoperta venne sicuramente rafforzata dalla consapevolezza dell'esistenza di cicli in natura facilmente esprimibili in numeri (per esempio la durata dell'anno, o delle stagioni).
Poiché non tutti riescono a cogliere i rapporti numerici che sottostanno all'esperienza sensibile, occorre distinguere due livelli di conoscenza (e quindi due tipi di uomini, da cui anche la necessità di distinguere due gruppi di discepoli all'interno della scuola):
il primo livello è legato ai sensi e al significato naturale del nome (in greco onoma, pron. ònoma) che usiamo per indicare le cose del mondo
il secondo livello è quello invece che riesce a cogliere gli «intrecci» profondi all'interno della realtà esprimibili attraverso i numeri, e viene indicato con la parola logoj (pron. logos), un termine che avrà una enorme fortuna nella filosofia.

Definendo gli intrecci di numeri contenuti nelle cose col termine logoi si vuol sottolineare che in questo modo si esprime, sulla cosa designata da questo intreccio di numeri, qualcosa di più e maggiormente sostanziale di quanto non esprimerebbe il semplice nome. [Von Fritz, 1988:58]

Inizialmente con queste affermazioni si intendeva qualcosa di assai semplice: davanti a una figura chiusa con tre lati io posso limitarmi a restare al livello dell'onoma e usare la parola «triangolo», che mi dice qualcosa sulla forma della figura ma non mi permette certo di riprodurla con sicurezza né di comunicare ad altri quale figura è esattamente.
Se però io passo al livello del logos potrò dire, per esempio, che i lati del triangolo sono 3, 4 e 5. In questo modo posso descrivere con sicurezza la forma del triangolo, che sarà un triangolo rettangolo, posso riprodurla esattamente e posso infine comunicarla ad altri, che saranno in grado come me di riprodurre una figura con la stessa forma.

Tutto questo diventa semplice da capire se si pone mente al fatto che gli antichi greci quando ragionavano sui numeri probabilmente si aiutavano con sassolini o altri piccoli oggetti: è facile quiandi capire come potessero pensare che 3, 4, 5 (il numero dei sassolini necessari per «disegnare» un triangolo rettangolo) potessero rappresentare il «logos», cioè la struttura profonda, del triangolo stesso.

Analisi dei numeri
Proprio l'immagine dei sassolini usati per «rappresentare» un triangolo ci fa capire come i pitagorici concepissero i numeri: almeno inizialmente, per loro esistono solamente i numeri naturali interi positivi che vengono concepiti come entità materiali.


Per quanto questa concezione dei numeri sia elementare, permise ai pitagorici una serie di importanti scoperti.
La prima scoperta è che i numeri si dividono in numeri pari e numeri dispari. Questa scoperta colpì talmente i matematici greci che l'espressione greca per indicare il pari e il dispari venne usata per indicare i numeri nel loro complesso.

I pitagorici disponevano i sassolini in due file parallele lungo un asse di simmetria centrale, ottenendo due casi:

nel primo i sassolini potevano essere divisi in due gruppi senza lasciare resti (sono i numeri pari, per definizione divisibili per 2),


nel secondo avanzava un sassolino che veniva appoggiato sulla linea di simmetria (sono i numeri dispari).


Nei numeri «pari» la linea immaginaria che divide i due sottoinsieme va all'infinito e quindi domina l'àpeiron; nei numeri dispari la linea viene interrotta e domina il pèras, i limite. Con una valutazione qualitativa del tutto estranea alla nostra sensibilità scientifica, ma estremamente tipica del mondo culturale greco, i pitagorici concludono che i numeri dispari sono «migliori» dei numeri pari.


Inoltre scoprono anche la serie dei quadrati perfetti disponendo i sassolini in questo modo:

Aumentando ogni volta di una unità il numero dei sassolini su ciascuno dei lati, e aggiungendo il numero di sassolini necessari a completare la figura, si ottiene la serie: 4, 9, 16, 25...
Questi numeri vengono ancora oggi detti «numeri quadrati» perché venivano ottenuti disponendo i sassolini in modo da formare dei quadrati.


Oltre a usare numeri quadrati i pitagorici parlavano anche di «numeri rettangolari» (quelli divisibili per due) e triangolari. Tra questi ultimi il più importante era la cosiddetta tetrakis, una figura triangolare che indica il numero 10 usando il numero 1, il primo numero pari, il primo numero dispari e il primo numero quadrato


La dottrina dei numeri ha trovato la sua sua più importante applicazione nella prima elaborazione della teoria delle proporzioni.

È facile dimostrare che i multipli degli stessi numeri si comportano come i numeri stessi. Sulla base di questo fatto si può a sua volta provare che i rapporti di frazioni si possono trasformare in rapprtoi di numeri interi moltiplicando le razioni per i denominatori. Da qui si sviluppa la teoria delle proporzioni per numeri niteri che costituisce... il contenuto principali dei libri sull'aritmetica negli Elementi di Euclide. [Von Fritz, 1988:60]

La crisi

Tutto bene, allora?

La concezione pitagorica dei numeri naturali positivi concepiti come piccoli oggetti materiali per quanto affascinante presentò subito una serie di gravi problemi.
Prima di tutto essa non permetteva di concepire né lo zero né l'infinito. Mancava il valore posizionale delle cifre, e i numeri dovevano essere indicati con le lettere dell'alfabeto contrassegnate da un apice (un segnetto simile all'apostrofo) per distinguerle dalle lettere normali. Questa notazione matematica rendeva complicato fare le operazioni più semplici: non c'è da stupirsi se nalla matematica greca si riscontra la costante tendenza a risolvere i problemi algebrici per via geometrica.
Ma soprattutto, con questa concezione la nozione di unità era problematica, perché l'uno (inteso come numero) veniva fatto coincidere con una realtà fisica che poteva essere facilmente spezzata in due.


Da qui nasce un problema per noi quasi incomprensibile, ma che tormentò a lungo la matematica greca: come può l'uno (il sassolino prima di essere spezzato) essere anche due (i due pezzi in cui viene diviso il sassolino quando viene spezzato)? Si tratta evidentemente di un falso problema, perché il concetto di «uno», come tutti i concetti, è qualcosa di immateriale e quindi è sottratto al rischio di essere «diviso»: tuttavia perché si arrivasse a questa semplice soluzione era necessario compiere un notevole balzo in avanti della concezione epistemologica del numero.


Un altro grave problema nella concezione pitagorica dei numeri venne alla luce con la scoperta che in figure relativamente semplici come il pentagono regolare e il quadrato non è possibile esprimere in numeri naturali il rapporto tra il lato e la diagonale.

Questa scoperta, che probabilmente venne effettuata per la prima volta sul pentagono regolare, metteva effettivamente in crisi tutto il sistema, perché falsificava la tesi secondo cui tutto è rappresentabile attraverso i numeri. Lo shock fu tale che secondo la leggenda lo scopritore di questo problema, Ippaso da Metaponto, venne gettato in mare dai suoi compagni (o secondo un altra versione fece naufragio per la sua empietà e morì).
La soluzione in realtà venne trovata abbastanza rapidamente sviluppando ulteriormente la teoria delle proporzioni.



Il daimon

La nozione di anima come daimon
La filosofia pitagorica sviluppò contemporaneamente al suo aspetto «scientifico» di ricerca matematica anche un aspetto «mistico» nel quale vennero fatte confluire alcune importanti intuizioni sull'anima di origine orfica.
I pitagorici quindi accettarono l'idea che la nostra autentica realtà sia costituita da un «daimon», ossia da un essere immateriale ed immortale, a metà strada tra il mondo terrestre e quello divino, caduto nel corpo a causa di una non meglio precisata colpa.
La vita di questo daimon non termina pertanto con la morte del corpo, che rappresenta solo il momento in cui il daimon passa a un altro corpo (teoria della «metempsicosi» o trasmigrazione delle anime).
Questo passaggio del daimon da un corpo all'altro segue alcune regole: se nella vita precedente il daimon si è comportato bene, cercando la purificazione, si incarnerà in un essere migliore, se invece si è comportanto male lasciandosi avvincere dalle passioni del corpo si reincarnerà in un essere inferiore.
La grande differenza tra la visione orfica e quella pitagorica consiste nel fatto che per gli orfici il percorso di purificazione coincide con la partecipazione a una serie di riti iniziatici, mentre per i pitagorici essa si realizza attraverso la conoscenza.

 

La vita

 Vita di Pitagora
Anche di Pitagora sappiamo pochissimo, tanto la sua figura è stata avvolta dalle ricostruzioni fantastiche dei suoi seguaci. Sappiamo che nacque nel 570 a.C. sull'isola ionica di Samo , dove crebbe e venne a conoscenza del pensiero di Anassimandro (o addirittura fu suo discepolo). I numerosi viaggi in oriente descritti dalle biografie su di lui non sono provati. Sappiamo invece che si trasferì in Magna Grecia intorno al 530 a.C. fondando a Crotone una vera e propria scuola, la prima istituzione ufficiale di cui ci sia nota l'esistenza. 
Il tirocinio per poter entrare nella scuola, che assomigliava molto a auna setta religiosa, era molto duro e selettivo: la dottrina pitagorica era infatti segreta ed era quindi vietato esporre ad esterni la dottrina. Esistevano due gruppi diversi di discepoli, che corrispondevano a due stadi diversi dell'apprendimento: gli uditori (akousmatikoi), che potevano solo ascoltare, e i «matematici» (mathematikoi) che potevano partecipare alle discussioni. Il maestro parlava da una nicchia della parete, coperta da un velo, in modo che il suo volto e la sua figura rimanessero nascosti e il suo insegnamento apparisse come un oracolo. La scuola fu distrutta quando attorno al 480 a.C. a Crotone salì al potere il governo democratico: la sede della scuola venne incendiata e rasa al suolo. Secondo alcune testimonianze però Pitagora riuscì a sfuggire all'incendio oppure più semplicemente si era già trasferito nella vicina Metaponto dove morì poco dopo.

Mappa concettuale

pitagorici numero

Link

 Link interni

L'incommensurabilità del lato e della diagonale  Questo articolo del Filo di Arianna approfondisce il problema della incommensurabilità del lato e della diagonale 

 Link esterni

Il teorema di Pitagora

E' la presentazione del teorema offferta da Wikipedia. 

 Le dimostrazioni del teorema di Pitagora

Pur essendo un vecchio lavoro, questa pagina del liceo Berchet offre un'ampia panoramica sulle dimostrazioni possibili del Teorema di Pitagora

Federico Peiretti Il teorema di Pitagora  Analisi semplice ma allo stesso tempo dettagliata delle teorie pitagoriche: si analizzano in particolare i numeri e il teorema di Pitagora, mostrando che era noto ben prima di Pitagora stesso. 
La sezione aurea

 "Il rapporto aureo fu introdotto dai pitagorici come rapporto tra la diagonale e il lato del pentagono regolare (o come rapporto tra il lato del pentagono stellato, simbolo dei pitagorici, e il lato del pentagono regolare con gli stessi vertici)."  

Pagina del sito Nuova storia culturale e storiografia

Il racconto di Giamblico

 Questa pagina del sito Politmath contiene la traduzione della pagina di Giamblico (un biografo di Pitagora) con la descrizione delle esperienze musicali che avrebbero portato Pitagora alla sua tesi "Tutto è numero".

 Pitagora: l'Orfismo  Breve intervita RAI (6 minuti circa) a Marcel Détienne, uno dei maggiori ellenisti contemporanei, parla della dimensione mistica della dottrina pitagorica. RAI Edu, 26 gennaio 2012
Intervista impossibile di Umberto Eco a Pitagora

 Tratto da Le interviste impossibili, Bombiani 1975. Umberto Eco nella parte finale si dimostra molto critico e scettico nei confronti della posizione pitagorica. 

La crisi degli irrazionali  Semplice testo di Anna Cerasoli, docente di matematica, dal sito amolamatematica.
René Guenon, Il simbolismo dello zodiaco nei pitagorici  L'articolo tratta il tema delle "porte del cielo", ossia dei passaggi che secondo i pitagorici (o almeno a partire da Numenio) le anime dovevano attraversare per scendere sulla terra e ritornare al cielo. 

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