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L'incommensurabilità del lato e della diagonale del quadrato

"Dimostrare", in filosofia, significa in generale "ricondurre ciò che è meno evidente a ciò che è più evidente". Questo procedimento, tuttavia, talvolta non può essere realizzato in modo diretto ma solo in modo indiretto, ossia attraverso una dimostrazione per assurdo (in filosofia si usa l'espressione latina reductio ad absurdum).
Quando si sviluppa una prova attraverso la riduzione all'assurdo si parte dall'ipotesi contraddittoria (e non semplicemente contraria) alla proposizione da dimostrare: se tramite un ragionamento corretto se ne deduce una conclusione assurda (perché evidentemente autocontraddittoria o contraddittoria con le premesse date), ne consegue che la premessa è falsa. Siccome tra due proposizione contraddittorie una deve essere vera e l'altra falsa, risulta dimostrata come vera la proposizione contraddittoria all'ipotesi (che è stata dimostrata falsa perché conducente a una contraddizione).
Un esempio di questo procedimento è quello che dimostra l'incommensurabilità della diagonale e del lato di un quadrato (equivalente, sul piano numerico, al valore  di √2). Questo problema era uno dei grandi problemi della geometria greca, e la sua soluzione rappresenta una grande conquista per il pensiero matematico delle origini. 
Apparentemente il problema è di facile soluzione: si chiede infatti se sia possibile usare il lato del quadrato come unità di misura per misurare la diagonale, ovvero se esiste una unità di misura comune al lato e alla diagonale, e intuitivamente sembra che si debba rispondere affermativamente.
Le cose però non sono così semplici.
Nel caso della incommensurabilità del lato e della diagonale, infatti, abbiamo due ipotesi di partenza, contraddittorie tra di loro:
  • lato e diagonale sono commensurabili (ossia esiste una unità di misura comune)
  • lato e diagonale non sono commensurabili (ovvero non esiste una unità di misura comune)
È fondamentale capire che non possono esserci altre ipotesi: solo così infatti, non potendo dimostrare direttamente l'incommensurabilità del lato e della diagonale, la si potrà dimostrare indirettamente, e cioè dimostrando che l'ipotesi della commensurabilità non può essere ammessa perché contraddittoria.
Partiamo perciò dall'ipotesi che in un quadrato ABCD la diagonale AC sia commensurabile con il lato AB. Questo significa che sarà possibile trovare una unità di misura comune tra lato e diagonale. Questa è l'ipotesi che noi assumiamo come punto di partenza e che è contraddittoria rispetto alla proposizione che intendiamo dimostrare.
La dimostrazione per assurdo procede così:
Costruiamo il quadrato ABCD, i cui lati ed angoli sono uguali tra loro per costruzione.
Se consideriamo il triangolo ABC, ci accorgiamo che è un triangolo retto isoscele, dal momento che
l'angolo in B è di 90°, essendo l'angolo di un quadrato, e i due cateti corrispondono a due lati del quadrato.
È così possibile applicare il teorema di Pitagora, che stabilisce una relazione precisa tra lato e diagonale di un triangolo rettangolo.
Lato e diagonale possono essere misurati da due numeri
  • entrambi pari
  • entrambi dispari
  • uno pari e uno dispari
  • La dimostrazione consiste nel mostrare che nessuna di queste possibilità è corretta, in quanto sono tutte contraddittorie e che perciò è l'ipotesi stessa della commensurabilità che va scartata
    Partiamo dall'ipotesi n° 1 (lato e diagonali entrambi pari):
    I numeri naturali m ed n che misurano AB e AD devono essere primi tra loro (come d'altra parte i loro quadrati) cioè non essere ulteriormente divisibili per un denominatore comune: assumiamo infatti che siano i due più piccoli numeri che stia-no tra di loro nello stesso rapporto in cui stanno lato e diagonale. Se così non fosse, essi avrebbero un denominatore comune che è possibile eliminare tramite una semplificazione. In particolare, non possono essere entrambi pari, perché in questo caso avrebbero come fattore comune il numero 2: l'ipotesi 1 è esclusa.
    Consideriamo l'ipotesi n° 2 (lato e diagonale entrambi dispari)
    Il quadrato costruito sulla diagonale, per il teorema di Pitagora, è il doppio del quadrato costruito sul lato. Avremo cioè la seguente uguaglianza
    2p=q
    dove p=m2 e q=n2. Ma questa uguaglianza ci permette di dire che q è pari, in quanto è un numero divisibile per 2. Ma anche 1/2 di un numero pari è pari, perciò anche p è pari. Anche la seconda ipotesi va perciò scartata.
    Resta l'ipotesi n° 3 (lato e diagonale uno pari e l'altro dispari)
    L'ipotesi si divide in due sottoipotesi
    • Lato pari e diagonale dispari
    • lato dispari e diagonale pari
    In entrambi i casi, il teorema di Pitagora impone il fattore 2 che rende impossibile la soluzione con i numeri naturali della equivalenza
    2 p = q
    sia che p venga assunto come pari e q come dispari
    sia che q venga assunto come pari e p come dispari

    In conclusione: giacché nessuna soluzione deducibile dall'ipotesi della commensurabilità è possibile, si deve concludere che lato e diagonale sono incommensurabili tra loro.

    Vedi anche

    • Introduzione

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