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Analisi, sintesi e dimostrazione in Platone

Il concetto di ipotesi in Platone

La parola greca hypothesis possiede una gamma di significati di cui il piu' ampio, fissato da Aristotele negli Analitici Posteriori (I,10), risale probabilmente all'Accademia, e non appartiene in origine alla geometria ma alla dialettica.
Hypotithestai tini significa infatti prima di tutto "suggerire" o "proporre" qualcosa a qualcuno perche' la accetti come base di una  argomentazione. Nel caso l'interlocutore (lo studente) accetti effettivamente la tesi proposta, scrive Aristotele, si parlera' di ipotesi in senso stretto, altrimenti, se l'interlocutore non accetta la proposizione sia perche' ha sull'argomento in questione idee diverse sia perche' non la trova sufficientemente evidente, si parlera' di postulati. In altre parole, la parola ipotesi indica prima di tutto qualcosa da cui si parte nella costruzione di un ragionamento e su cui si chiede l'approvazione o l'assenso da parte dell'interlocutore. In teoria tale ipotesi potrebbe essere scelta in modo del tutto arbitrario (e percio' modificabile,  come appare per esempio in Rep IV 437 a: ma si tratta del principio di non contraddizione, sul quale Platone non vuole, in quel luogo, dilungarsi, anche se in realta' questo e' impossibile. Non a caso, nei dialoghi platonici le ipotesi sono spesso chiamate omologhemata, "cio'  su cui gli interlocutori si sono messi d'accordo". Nel procedere della discussione dialettica possono emergere (o no) delle contraddizioni interne: in questo caso l'ipotesi dalla quale si era partiti dovra' essere dichiarata falsa, proprio preche' porta a quella cortocircuitazione del pensiero che e' la contraddizione. Un esempio platonico e' per esempio nel Fedone: Socrate, descrivendo il suo modo di procedere, afferma che "prendendo nei singoli casi a fondamento la ragione che mi sembra piu' salda, quelle conseguenze, che mi paiono d'accordo (cioe' non in contraddizione) con essa, le ritengo vere...; e quelle che ne discordano, per non vere" (Fedone, 100 a).

Hypothesis viene usata anche nel significato di ipotesi ad hoc, cioe' di assunzioni fatte in vista della soluzione di un problema. Questo procedimento "per via di ipotesi" e' esposto nel Menone (86 e ). In questa circostanza il geometra usa un metodo ipotetico perche' non da' una risposta determinata al quesito posto: egli "mette all'inizio della sua ricerca una condizione, che e' l'hypotesis, ed enuncia quello che risulta da questa hypothesis. Se viene presa come punto di partenza un'altra assunzione..., o detto altrimenti, se l'hypothesis e' differente dalla precedente, il risultato sara' differente. La ricerca della geometria si fonda dunque... su una hypothesis, e il suo risultato dipendera' da questa assunzione iniziale che ne e' la condizione" (Szabo' 255).In altre parole le ipotesi ad hoc determinano le condizioni alle quali e' possibile risolvere un determinato problema, rappresentano cioe' un diorismos  .
In questi due sensi la ipotesi son qualcosa di relativo, nel primo caso essendo legate alla omologhia da parte dell'interlocutore, nel secondo essendo in funzione di un problema delimitato.
Ma accanto a questi due significati, Platone usa hypotithemi anche col significato di definire ( per esempio nel Carmide, 160 d ), e di conseguenza le hypotheseis coincidono con le definizioni. Per esempio in Rep VI 510 c-d Platone si riferisce con questa parola a tre oggetti aritmetico-geometrici (il pari e il dispari (cioe' il numero), le figure e le tre specie d'angoli) che negli Elementi di Euclide vengono indicati tramite definizioni esplicite.  Evidentemente in questo caso le ipotesi non sono piu' qualcosa di relativo, di "ipotetico" nel senso usale del termine, ma diventano punti di partenza definitivi, fondamenti, del ragionamento. In particolare, il significato di ipotesi che viene usato in questo passaggio della Repubblica non e' lo stesso cui si fa riferimento nel testo del Menone citato precedentemente. Questo dimostra  anche  una sostanziale confusione tra il concetto di fondamento (arche') o principio indimostrato e quello di ipotesi, confusione che permane nella tradizione platonica fino a Proclo, che usa la parola "ipotesi" per indicare sia i principi primi sia le definizioni.

Il concetto di dimostrazione

Platone non fu il primo a proporre una sistemazione deduttiva della geometria, ne' introdusse l'importante limitazione in base alla quale dovevano essere studiate soltanto le figure costruibili con la riga e il compasso. La ottocentesca tesi dello Zeuthen di una "rivoluzione platonica" in geometria, avente come cardini i due punti sopra indicati, tesi ripresa e ripetuta fino a trasformarla in luogo comune , deve venire abbadnonata. Negli Elementi di Euclide sono certamente confluiti i contributi della geometria e dell'aritmetica preeuclidea, e spesso essi sono rimasti isolati dal corpo della costruzione euclidea, senza trovare un posto organico nella concatenazione del ragionamento. Per esempio quando troviamo delle definizioni che, pur venendo annunciate insieme alle altre, non vengono piu' usate in seguito (per esempio la stessa definizione di punto che apre gli Elementi, o le definizioni 4 e 7 dello stesso libro I, relative rispettivamente alla linea retta e alla superficie piana ), possiamo ritenere certo che si tratti di nozioni gia' presenti nella geometria preeuclidea e che non si vuole abbandonare, anche se perfettamente inutili al ragionamento. Lo stesso vale anche per certi procedimenti arcaici che tuttavia vengono citati per completezza espositiva (per esempio quelli usati per dimostrare i teoremi relativi ai numeri pari e ai numeri dispari in IX 21 e 22 ).
Se Euclide puo' citare queste definizioni e' perche' esse sono state formulate da lungo tempo, tanto da diventare luoghi comuni della geometria, per cosi dire; e se sono state formulate e' perche' qualcuno aveva gia' sentito il bisogno di elencare, probabilmente all'inizio della sua opera, i "principi" da cui intendeva muovere. Noi non abbiamo nessun documento che ci permetta di uscire dal campo delle ipotesi: sappiamo solo, da Proclo, che certamente Ippocrate di Chio aveva compilato degli Elementi e per fare questo doveva certamente aver raccolto delle "archai".

La differenza fondamentale della matematica greca verso quella orientale consiste nella necessita' della dimostrazione di ogni affermazione che voglia costituirsi come scientifico. La comparsa di questa esigenza proprio presso i greci e' motivata da von Fritz con le caratteristiche del sistema politico di questo popolo, in particolare quello delle citta' ioniche e della Magna Grecia, che stimolava il confronto  tra opinioni diverse e la necessita' di scegliere tra di esse.
In ogni caso il concetto di dimostrazione in origine era piuttosto confuso, e si risolveva piuttosto nella mostrazione di cio' che si voleva fondare: in questo senso probabilmente la tradizione riporta che Talete "dimostro'" che il diametro biseca il cerchio in due parti uguali e che i due angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali. Tale ambiguita' traspare anche dalla stessa parola, deiknumi, usata per indicare questi procedimenti, che significa appunto, nel linguaggio quotidiano, mostrare. Un esempio di questo concetto intermedio di dimostrazione e' riscontrabile nel famoso esempio di lezione di geometria contenuto nel Menone: il discepolo veniva semplicemente "accostato" all'oggetto  da conoscere, e il problema per il docente consisteva solo nel presentarlo nel modo piu' adatto. Per questo motivo le dimostrazioni arcaiche dovevano rispettare pienamente il senso originario della parola epagoghe', con cui poi verra' indicato il processo induttivo in senso aristotelico. E' chiaro che in questo senso originario la "dimostrazione" aveva bisogno di una componente intuitiva decisiva.
Il passaggio decisivo si ha con la filosofia eleate e la invenzione della dimostrazione indiretta o apagoghe'.  In questo caso non si tratta piu' di far vedere direttamente qualcosa, ma di "allontanare" il discente da una conclusione falsa perche' contraddittoria. L'esempio piu' semplice di questo procedimento e' la dimostrazione della non commensurabilita' del lato e della diagonale.  Le dimostrazioni matematiche del V secolo dovevano essere di questo tipo: per questo Platone indica la matematica come esempio per la dialettica (in senso platonico), perche' anche nella dialettica l'unico modo di fondazione di una affermazione poteva essere quello indiretto. Anche a proposito del Bene, per esempio, Platone scrive che bisogna determinare questa idea "distinguendola da tutte le altre idee... passando come in una battaglia attraverso ogni prova", ossia ogni tentativo di confutazione degli interlocutori (Rep VII, 534 c).
Qui si comincia a scorgere il nesso tra ipotesi e dialettica: in una dimostrazione indiretta, infatti, e' necessario  in primo luogo presentare all'interlocutore due proposizioni o ipotesi, reciprocamente escludentesi tra loro perche' tra loro contraddittorie, e, in secondo luogo, mostrare la contraddittorieta' delle  conseguenze di una di esse (con le premesse o con un fatto gia' accettato come vero). L'ipotesi dalla quale sono dedotte queste conseguenze, proprio per tale contraddittorieta', e' dichiarata falsa, e l'altra vera. E' evidente che questo e' un criterio negativo, del tutto analogo dalla reductio ad absurdum di cui parla Aristotele negli Anal. sec..In Platone "non si trova mai stabilito perche' due o piu' asserzioni si accordano tra loro... . Cio' che il ragionamento al contrario mette in rilievo e' il disaccordo di due asserzioni tra loro... Tale disaccordo e' considerato da Platone come la piu' sicura delle verifiche".  Il che significa che, all'interno della dialettica platonica, non e' possibile dare alcune regola di tipo sillogistico-deduttivo per stabilire una connessione tra le proposizioni: l'unico, decisivo criterio e' la non contraddizione.  Il problema successivo e' percio' quello di come si formulano le ipotesi, e questo ci porta a considerare il tema dell'analisi e della sintesi.


Il concetto di analisi e  sintesi

Il termine e il concetto di analisi (e il suo corrispettivo della sintesi) sono tra i piu' tormentati nella storia della filosofia.  Quello che occorre mettere in chiaro qui e' che il significato platonico della parola non ha nulla a che fare con l'analisi aristotelica (consistente nel risolvere il ragionamento in sillogismo e il sillogismo nelle strutture formali delle proposizioni che lo costituiscono), ne' con la moderna analisi scientifica (in particolar modo matematica).
Temistio (esegeta di Aristotele, vissuto nel IV secolo d.C.) definisce  in generale l'analisi come il "ricercare, assunta una conclusione come vera, le premesse dalle quali essa viene dedotta".  Il processo corrispettivo della sintesi consiste invece nel raccogliere secondo l'ordine logico gli "elementi" trovati nell'analisi fino a ritornare alla proposizione da cui si era partiti.
Un noto passo di Proclo attribuisce a Platone l'invenzione stessa dell'analisi, che il filosofo ateniese avrebbe poi trasmesso a Leodamo. Heath, commentando il passaggio nella sua History of the greek mathematics, nega recisamente questa attribuzione, aggiungendo che Proclo, nella sua esposizione, sembra confondere il procedimento matematico con quello della dialettica. Cornford invece sostiene che i nessi tra questi due procedimenti e' molto stretto.
Aristotele infatti parla in piu' luoghi di analisi di un "diagramma" (dove "diagramma" puo' voler dire sia figura sia costruzione. Reale traduce con "teoremi"). Per esempio, se lo studioso sta considerando gli angoli interni di un triangolo, e vuole dimostrare che (1) "gli angoli interni di un triangolo sono uguali a due angoli retti", ottiene questo risultato intuendo che la verita' espressa nella proposizione (2)"gli angoli attorno a un singolo punto di una retta sono uguali a due angoli retti" e' la condizione necessaria per dimostrare la (1). Questa operazione costituisce l'analisi. Il collegamento tra la (2) e la (1) viene esplicitato disegnando la base del triangolo (parallela alla retta data) e gli altri due lati, e questa operazione e' la sintesi.
Analisi e sintesi percorrono cosi', sebbene in ordine inverso, le stesse proposizioni, e corrispondono, secondo Cronford, alla noesis e alla dianoia platoniche: "La noesis e' un atto immediato di visione; la salita (scilicet verso le verita' prime) e' compiuta con uno o piu' balzi improvvisi. La dianoia, d'altro canto, e' un processo continuo; la mente 'viaggia'... lungo il sentiero rappresentato da un ragionamento che colui che ragiona 'attraversa'... dall'inizio alla fine".  Ma soprattutto "ne' il potere analitico della noesi ne' il processo del ragionamento deduttivo sono limitati agli oggetti matematici; e delle 'ipotesi' (sebbene di tipo diverso) sono impiegate nello sforzo di definire Idee morali". Le ipotesi sono colte dall'atto intuitivo della noesi: la dianoia ricostruisce l'ordine nel quale devono disporsi le  conoscenze che da quelle ipotesi possono essere derivate. La matematica allora e' il campo in cui, grazie alla relativa semplicita' dei suoi oggetti, emerge con la massima chiarezza la struttura e la dinamica della conoscenza umana: ma sebbene ne fornisca il modello, resta ben lontana dalle esigenze di una vera episteme (cioe' un sapere definitivo e integralmente trasmissibile), a causa del suo dipendere da "ipotesi che possono essere rimesse in discussione".  La dialettica, una volta di piu', e' il sapere destinato a cogliere prima (dialettica ascensiva) i principi ultimi della realta' (Idea del Bene) e dedurne poi (dialettica discensiva) l'ordine complessivo della realta'.

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