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La logica aristotelica

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La logica, in quanto studio del ragionamento corretto, entra ufficialmente nel pensiero occidentale nel IV secolo a.C. grazie ad alcuni scritti aristotelici, successivamente etichettati dai posteri come Organon, cioè “strumento”, propedeutico agli studi scientifici.

L’Organon comprende:

- le Categorie, che trattano della classificazione di tutto ciò che vi è;

- il De Interpretatione, riflessioni sul linguaggio e sul concetto di necessità;

- gli Analitici Primi, ovvero la sillogistica;

- gli Analitici Secondi, comprendenti problemi di filosofia della logica;

- i Topici, prescrizioni su come argomentare durante le dispute;

- le Confutazioni Sofistiche, discussione di argomentazioni fallaci.

In realtà il termine “logica” compare solo più tardi, nella trattazione stoica, ma va attribuito ad Aristotele il merito di aver inaugurato la via dello studio consapevole ed approfondito del ragionamento corretto. Tuttavia, il tentativo aristotelico di ordinare in modo sistematico l’ambito che oggi chiamiamo “logica” è debitore di contributi già emersi in precedenza nella riflessione filosofica.

Un illustre precedente è la dimostrazione per assurdo, presente già presso i pitagorici, i quali se ne servirono per dimostrare che la diagonale del quadrato non è un numero razionale. Infatti, la dimostrazione per assurdo si prefigge di dimostrare A negandola e mostrando come non-A conduca ad una contraddizione; ora, partendo dal presupposto di un mondo diviso in due parti (ossia gli enti che godono di una certa proprietà e quelli che non ne godono), se non vale non-A, necessariamente vale A. Per la prima volta, emerge appunto una struttura di tipo logico.

Un altro ambito di ricerca, poi confluito nella riflessione di Aristotele, è quello relativo alla problematicità del verbo “essere”. Platone aveva risolto la questione intendendo con “essere” il partecipare all’identico e con “non essere” il partecipare al diverso. Si discusse a lungo in merito e si giunse a distinguere la funzione copulativa del verbo “essere” da quella esistenziale. Infine, anche l’interesse sofista per la confutazione fu uno dei temi che trovò un ripensamento coerente nella logica aristotelica.

L’impostazione della proposizione in soggetto-predicato (S-P) propria della logica aristotelica è funzionale alla concezione metafisica che vi corrisponde, ossia una visione di tipo sostanzialistico; si tratta dunque di una logica strettamente connessa all’ontologia, per cui alla struttura della frase in soggetto-predicato fa riscontro quella dell’essere in sostanza-attributo. Di conseguenza, le leggi della logica aristotelica rispecchiano uno stato di cose nella realtà: data una proprietà, il mondo si divide in due parti, quella delle sostanze che ne godono e quella delle sostanze che non ne godono, indipendentemente dalla nostra conoscenza.

Veniamo ora alla questione centrale, ovvero in che senso l’Organon possa essere definito uno “strumento”, e questo discorso ci conduce ai caratteri della logica aristotelica. Essa si preoccupa infatti di stabilire le regole del ragionamento corretto, in modo che partendo da alcune verità e seguendo delle regole precise, si giunga ancora alla verità (in termini molto semplici: se si dà alla logica ciò che è vero, essa restituisce il vero; se le si consegna il falso, tale logica seguirà il ragionamento corretto ma non è detto che restituisca la verità). Il punto fondamentale è che “ragionamento corretto” non è sinonimo di “verità” ed in ciò risiede la sua natura strumentale: se si ottiene il falso non è colpa dello strumento, ma dei contenuti con cui lo si è “riempito”; la verità dipende dalle premesse e non incide sulla validità del ragionamento. Per questo la logica aristotelica venne poi definita formale, in quanto non intacca il contenuto e nemmeno ne dipende. È perciò naturale che essa sia anche simbolica, cioè si avvalga di simboli per indicare i termini di cui si compone il suo linguaggio, proprio per sottolinearne l’indipendenza dai contenuti[1].

La sillogistica assertoria di Aristotele sottintende una premessa relativa alle tre leggi generali della logica. Esse sono: il principio di identità, il principio di non contraddizione, il principio del terzo escluso. Vediamo quanto afferma ciascuno di essi:

I. Principio di identità: ogni cosa è ciò che è e non qualcos’altro (ogni cosa è determinata).

II. Principio di non contraddizione: ogni cosa non può essere e non essere la stessa cosa contemporaneamente.

III. Principio del terzo escluso: ogni cosa o gode o non gode di una certa proprietà (non c’è qualcosa di intermedio fra due proposizioni contraddittorie).

Si ricordi che la denominazione di questi tre principi e la loro stessa separazione sono successive ad Aristotele. Inoltre, ciascuna di queste leggi ha conosciuto diverse definizioni: ad esempio, anziché riferirsi a cose e a loro proprietà, è possibile esprimere le stesse leggi in riferimento a proposizioni, dicendo:

I. A=A è sempre vera (identità di ogni proposizione con se stessa).

II. Ogni proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa.

III. Ogni proposizione deve essere o vera o falsa (principio chiamato anche “legge di bivalenza”).

Aristotele enuncia semplicemente questi principi l’uno di seguito all’altro. In particolare, in diversi luoghi “assembla” il principio di non contraddizione (II) e il principio del terzo escluso (III) poiché entrambi esplicitano il concetto di negazione, già contenuto nella dimostrazione per assurdo: se consideriamo la proprietà P in relazione a X, X non può avere e non avere P (II), ma deve avere o non avere P (III). In Metaphysica, B 2 Aristotele afferma ad esempio: «[…] è necessario in ogni caso affermare o negare, e […] è impossibile simultaneamente essere e non essere»

A proposito della legge di bivalenza, storicamente si è molto dibattuto sul capitolo 9 del De Interpretatione. Il problema è quello dei futuri contingenti, così formulabile: il principio del terzo escluso (III) vale anche per le proposizioni relative al futuro? Alcuni commentatori hanno interpretato tale capitolo come critico nei confronti di detta legge, quando riferita al futuro: infatti, per evitare di cadere nel determinismo, Aristotele avrebbe suggerito di non considerare valido per il futuro il principio che ogni proposizione debba essere o vera o falsa, poiché la verità e la falsità sono atemporali e, dunque, dall’eternità sarebbe fissata la verità o la falsità di un evento a venire.

Il ragionamento su cui maggiormente si concentra Aristotele è il sillogismo le cui proposizioni siano assertorie o categoriche (cioè esprimono semplicemente l’appartenenza di un predicato ad un soggetto). Innanzitutto, il sillogismo è un ragionamento costituito da tre proposizioni (nella forma S-P): due premesse (premessa maggiore e premessa minore) ed una conclusione:

fig00

Il S e il P della conclusione si ritrovano anche nelle premesse come soggetto o predicato, a seconda dei casi.

Si hanno quindi quattro possibilità combinatorie, le cosiddette “quattro figure” del sillogismo, in base alla posizione che assumono i termini nella proposizione (cioè in base a quale costituisca il soggetto e quale il predicato delle premesse):

fig_01

In realtà, la IV figura non è stata presentata da Aristotele; se ne ipotizza la paternità da parte di Galeno, ma è comunque facile da ricavare poiché speculare alla I, considerata da Aristotele come la migliore: i sillogismi validi lo sono infatti intuitivamente e l’evidenza della I, secondo Aristotele, viene da sé (infatti vedremo tra poco come sia possibile ridurre le altre figure alla I).

Ogni proposizione categorica è caratterizzata quantitativamente (è universale o particolare) e qualitativamente (è affermativa o negativa). Si danno quindi quattro possibili forme che una proposizione apodittica può assumere:

- universale affermativa («Tutti gli S sono P»), esprime il fatto che l’estensione del soggetto (cioè la classe degli individui che cadono sotto il termine che funge da soggetto) è totalmente inclusa nell’estensione del predicato;

- particolare affermativa («Qualche S è P»), nel caso in cui l’estensione del soggetto sia parzialmente inclusa nell’estensione del predicato;

- universale negativa («Nessun S è P»), qualora l’estensione del soggetto sia totalmente esclusa dall’estensione del predicato;

- particolare negativa («Qualche S non è P»), se l’estensione del soggetto non è totalmente inclusa nell’estensione del predicato (esiste almeno un individuo che cade sotto S ma non sotto P).

Per rappresentare simbolicamente i quattro tipi di categoriche citati si usano le quattro vocali A, E, I, O, che derivano convenzionalmente dalle parole AdfIrmo (A: universale affermativa; I: particolare affermativa) e nEgO (E: universale negativa; O: particolare negativa).

I rapporti logici tra questi quattro tipi di proposizioni sono stati compendiati nel cosiddetto “quadrato delle opposizioni” o “quadrato aristotelico”, entrato in uso grazie alla manualistica medievale:


fig_02

Il quadrato è un ausilio molto utile per chiarire i rapporti che possono sussistere tra proposizioni al fine di saggiare la validità di un sillogismo. Esso mette infatti in luce quanto segue. La I rispetto alla A e la O rispetto alla E sono subalterne, cioè se è vera A, è vera necessariamente I (ma non necessariamente viceversa); e anche se è vera O, è vera necessariamente E (ma non necessariamente viceversa). La A e la E possono essere entrambe false, non entrambe vere: le due proposizioni sono contrarie. La I e la O possono essere entrambe vere, ma non entrambe false: sono cioè tra loro subcontrarie. La A e la O, o anche la I e la E, non possono essere né entrambe vere né entrambe false (se è vera l’una, è falsa l’altra, e viceversa): le due proposizioni sono contraddittorie.

Se ora calcoliamo tutte le possibili forme che le proposizioni possono assumere nelle quattro figure, si ottengono complessivamente 256 schemi, detti “modi” del sillogismo. Infatti, per ogni figura abbiamo 4 possibilità (A, E, I, O) per la premessa maggiore, 4 per la minore e 4 per la conclusione, quindi 64 modi (4x4x4) in ogni figura; moltiplicando questi per le quattro figure del sillogismo, si ottengono 256 modi (64x4) possibili. Non tutti saranno però forme di ragionamento corretto: sono ritenuti validi solo 19 di base, a cui se ne possono aggiungere altri ottenuti attraverso la subalternazione (se il sillogismo è valido e finisce in A o E, se ne possono ricavare altri terminanti rispettivamente in I e O; in pratica si tratta di passare da una conclusione universale ad una particolare della stessa qualità).

Ecco la tavola dei 19 sillogismi validi, dove l’ordine delle vocali indica rispettivamente la premessa maggiore, la premessa minore e la conclusione:

I figura: AAA, AII, EAE, EIO;

II figura: AEE, AOO, EAE, EIO;

III figura: AAI, AII, EAO, EIO, IAI, OAO;

IV figura: AAI, AEE, IAI, EAO, EIO.

Vediamo nel dettaglio i modi validi della I figura:

fig_03

fig_04

Questi sono appunto i quattro modi validi della I figura, la cui validità, secondo Aristotele, è nota intuitivamente. Qui è anche possibile trarre una regola valida in generale: se c’è anche una sola proposizione particolare o negativa, anche la conclusione sarà (rispettivamente) particolare o negativa.

Dal momento che, sulla base della dottrina del sillogismo, Aristotele elabora la sua teoria della scienza, precisiamo che affinché si dia sillogismo scientifico, è indispensabile che le premesse da cui la dimostrazione muove siano vere e prime (cioè non devono essere ottenute a loro volta mediante dimostrazione, o perlomeno devono derivare da premesse prime). Ciò che fa di una deduzione una dimostrazione scientifica sono le proprietà delle sue premesse, dei suoi principi.

Nella manualistica medievale fu poi introdotta una filastrocca per ricordare i 19 sillogismi validi e le regole di conversione dalle altre figure alla I. In pratica, i logici medievali hanno attribuito dei nomi a ciascun modo valido del sillogismo, in modo da avere un artificio mnemonico utile a ricordare la forma dei sillogismi e le modalità di trasformazione dei modi delle altre tre figure ai 4 validi del sillogismo di I figura. La filastrocca è la seguente:


Barbara, Celarent, Darii, Ferioque, prioris

Cesare, Camestres, Festino, Baroco, secundae

Termia, Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison, habet

Quarta in super addit Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison

Nella prima strofa sono indicati i quattro sillogismi validi di I figura (“prioris”): le prime tre vocali di ogni parola indicano appunto qualità e quantità delle tre proposizioni di cui si compone il sillogismo. L’iniziale di ciascuna delle quattro parole servirà, quando si tratteranno i sillogismi delle altre figure, ad individuare quello di prima figura cui essi andranno ricondotti (ad esempio, “Cesare” andrà ricondotto a “Celarent”, “Baroco” a “Barbara”, e così via).

Modi validi di I figura:

fig_05

Nelle altre strofe sono indicati, secondo le medesime modalità della prima, i sillogismi validi delle altre figure, con un accorgimento ulteriore: le altre consonanti di ogni parola (oltre all’iniziale, di cui abbiamo già appurato la funzione) indicano come operare la riconduzione di ogni sillogismo a quello corrispettivo di I figura:

m = mutatio praemissarum (scambio delle premesse)

└> si tratta di scambiare una premessa con l’altra (la minore diventa la maggiore e viceversa);

s = conversio simplex (conversione semplice)

└> si tratta di scambiare soggetto e predicato nella proposizione cui corrisponde la vocale precedente alla “s”; si può fare nei casi in cui il rapporto quantitativo tra S e P è costante:

fig_06

Negli altri casi questo metodo non è valido:

fig_07

p = conversio per accidens

└> si tratta di scambiare non solo soggetto e predicato, ma anche la quantità (A ↔ I; E ↔ O) nella proposizione indicata dalla vocale che precede “p”;

es. Darapti (III fig.)

A: tutti gli S sono P → I: qualche P è S

c = per contradictionem (argomento per assurdo)

└> consiste nel dimostrare che l’argomento è valido facendo vedere che dall’assunzione della verità delle premesse e della falsità della conclusione si ricava una contraddizione (e, precisamente, che si ricava la contraddittoria della prima o della seconda premessa). La riduzione all’assurdo si usa solo in due casi: Baroco (II figura) e Bocardo (III figura).

Si tenga ben presente che tutte le altre consonanti non hanno alcun valore.

Facciamo qualche esempio. Iniziamo proprio con una riduzione all’assurdo:

Baroco (II fig.)

fig_08

Baroco inizia con la B, perciò bisogna ricondurlo a Barbara (corrispettivo di I figura).

Seguendo il principio della dimostrazione per assurdo, consideriamo vere le premesse e falsa la conclusione. Ma se assumiamo che “qualche S non è P” è falsa, allora deve essere vera la sua contraddittoria, cioè “tutti gli S sono P”. Ora, prendiamo quest’ultima proposizione e la premessa maggiore di cui abbiamo posto la verità, cioè “tutti i P sono M”, otteniamo così il seguente sillogismo di I figura:

fig_09

A questo punto è evidente la contraddizione: infatti la premessa minore “Qualche S non è M” è contraddittoria rispetto alla conclusione secondo cui “Tutti gli S sono M”.

Seguiamo lo stesso procedimento con Bocardo (III fig.)

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Anche Bocardo inizia con la B, perciò bisogna ricondurlo al corrispondente di I figura, Barbara. Ancora una volta, consideriamo vere le premesse e falsa la conclusione. Se “qualche S non è P” è falsa, allora è vera la sua contraddittoria, cioè “tutti gli S sono P”. Ora, con questa proposizione e la premessa minore, cioè “tutti gli M sono S”, otteniamo il seguente sillogismo di I figura:

fig_11

Ancora una volta, si ottiene una contraddizione: infatti, la premessa maggiore “qualche M non è P” è contraddittoria rispetto alla conclusione secondo cui “tutti gli M sono P”.

Passiamo ad esempi di altro tipo, per evidenziare come le consonanti contenute nelle parole indichino il modo in cui operare le riconduzioni ai corrispettivi di I figura.


Cesare (II fig.)

fig_12

Cesare inizia con la C, perciò bisogna ricondurlo a Celarent. La s indica che si deve operare una conversione semplice sulla premessa maggiore, in modo da ottenere:

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Questo è appunto Celarent.

Camestres (II fig.)

fig_14

La m indica che si deve operare uno scambio delle premesse, in questo modo:

fig_15

La prima s indica che si deve operare una conversione semplice sulla premessa minore, da cui si ottiene:

fig_16

Infine, la seconda s indica che si deve operare un’altra conversione semplice sulla conclusione, da cui ne deriva il seguente sillogismo:

fig_17

Questo è appunto Celarent.

Fesapo (IV fig.)

fig_18

La s indica che si deve operare una conversione semplice sulla premessa maggiore, da cui si ottiene:

fig_19

La p indica che si deve procedere con una conversione per accidens sulla premessa minore; il sillogismo che ne risulta è il seguente:

fig_20

ovvero Ferioque.



[1] In particolare, Aristotele usò lettere dell’alfabeto greco per designare i termini.

Vedi anche

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